学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

波利亚在《怎样解题》这本书中说,我们在寻找解题方法时,可以试试在题目上做些变化,比如类比、特殊化、普遍化、分解和重组等。 我们就来说说,怎么用分解和重组的方法来解题。 例题:甲乙丙…

波利亚在《怎样解题》这本书中说,我们在寻找解题方法时,可以试试在题目上做些变化,比如类比特殊化普遍化分解和重组等。

我们就来说说,怎么用分解和重组的方法来解题。

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

例题:甲乙丙丁四车同时在一条路上行驶,甲车12点追上丙车,14点与丁相遇,16点与乙相遇,乙车17点与丙相遇,18点追上丁。问:丙和丁几点几分相遇?

这是一道行程问题,但是常规题目里该有的的路程、速度和时间,这道题里都没有,条件却很多。如果我们上来就设个x、y,闷着头开始计算,很容易失去方向。我们应该从分解条件开始。

图形是一种很好的工具,能够帮助我们分析。但现在,我们可能只能画出这样一张草图:

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

这张草图里能看出一些最基本的信息:甲、丙两车同方向行驶,甲车比丙车快;而乙、丁两车向另一个方向行驶,乙车比丁车快。

但也仅此而已。题目里大量关于时间的条件,都还没用上。

要用上这些信息,一种好方法是用自己的语言重新叙述,只要其中的干货。比如,具体的时间点没什么用,应该把它们换成时间段。这样,甲12点追上丙,14点遇见丁就可以理解成:甲追上丙后,再过2个小时和丁相遇。

题目没有告诉我们这四辆车是几点,从什么位置出发的。我们可以把12点当作各车出发的时间,此时甲车和丙车正好在同一个地点,对面开来乙车和丁车,乙车的位置要远一些:

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

甲14点与丁相遇,此时甲、丁各开了2个小时:

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

再过2个小时,甲与乙相遇,此时甲、乙各开了4个小时,那么甲开的距离应等于与丁相遇时的两倍。

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

同样的,乙车17点与丙车相遇,各开了五个小时:

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

乙车18点追上丁车,各开了6个小时:

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

然后,我们把分解了的信息组合起来, 画一张更加精准的图。这张图不需要百分之百的精确,但至少不能犯一些会导致误解的错误,像表示甲车行驶了4小时的线段,不能比表示甲车行驶2小时的线段更短:

学习用分解和重组的方法解数学题,从小培养分析能力

这道行程的应用题,已经变成了一道算线段长度的题目。

现在,我们可以引入符号了。

我们用来表示甲车一小时的行程,也就是红线的一格,以此类推。甲和丁之间的距离用a来表示,甲和乙之间的距离用b来表示。

我们把上面的条件分别写成代数式:

2甲+2丁=a

4甲+4乙=b

5丙+5乙=b

6乙-6丁=b-a

要算的是a÷(丙+丁)。

开始计算之前,再快速检查一下:我们用到了所有的条件了吗如果用到了,我们就可以更加放心大胆的去算。

计算的结果等于10/3,即15点20分。

分解和组合是一种基本的分析方法。这样的数学题目,可以多做一些。

介绍其他解题方法的往期文章请看:

类比:《数学题目没思路?试试回想一道相似的题目

特殊化:《考虑这道数学题的一个特例

普遍化:《要做一个小题目,不如先考虑一个“大”题目

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